Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面垂直，AB=AC=1，AA₁=2，P、Q、M分别是棱BB₁、CC₁、B₁C₁的中点，AB⊥AQ．
（1）求证：AC⊥A₁P；
（2）求证：AQ∥面A₁PM；
（3）求AQ与面BCC₁B₁所成角的大小．

Answer

（1）要证AC⊥A1P只需证明AC垂直A1P所在的平面AA1B1B即可，只需证明垂直平面AA1B1B内的两条相交直线AB，AA1，即可．
（2）延长线PM交CC1于J，证明AQ平行面A1PM内的直线A1J，就证明AQ∥面A1PM；
（3）说明∠A1JM就是AQ与面BCC1B1所成角，解三角形A1JM，求AQ与面BCC1B1所成角的大小．
【解析】
（1）由已知AA1⊥AB，又AB⊥A1Q，
∵AB⊥面AA1C1C，
∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA1，
∴AC⊥面AA1B1B，
∴AC⊥A1P（5分）
（2）延长线PM交CC1于J．
∵P，M是棱B1B，B1C1中点，
∴△B1PM≌△C1MJ，
∴C1J=1．
在面AA1C1C中由AA1∥QJ，
∵CQ=1，
∴AA1=QJ．
∴四边形A1AQJ是平行四边形．
∴AQ∥A1J，
∴AQ∥面A1PM．（10分）
（3）M是等腰三角形A1B1C1中点，A1M⊥B1C1，
又由已知A1M⊥CC1，∴A1M⊥面BCB1C1，又A1J∥AQ，
∴∠A1JM就是AQ与面BCC1B1所成角．

即AQ与面BCC1B1所成角为30°（14分）