Question

已知抛物线y²=4x与椭圆有共同的焦点F₂．
（1）求m的值；
（2）若P是两曲线的一个公共点，F₁是椭圆的另一个焦点，且∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，求cosα•cosβ的值；
（3）求△PF₁F₂的面积．

Answer

（1）根据抛物线方程求得其焦点即椭圆的焦点坐标，进而根据a和b，c的关系求得m．
（2）先设出P的坐标，代入椭圆和抛物线方程消去y，求得P点横坐标，根据x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1．设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则可知|PF2|=|PN|根据抛物线定义可知|PN|=x1+1进而求得|PF2|和|PF1|，过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，分别在Rt△PP1F1中而后Rt△PP1F2中求得cosα和cosβ，最后答案可得．
（3）根据（2）中的P的横坐标求得|PP1|，进而根据三角形面积公式求得答案．
【解析】
（1）依题意可知抛物线焦点为（1，0），
∴椭圆的半焦距c=1，即9-m=1，m=8
（2）设P（x1，y1）
由得 2x21+9x1-18=0，∴x1=，或x1=-6（舍）．
∵x=-1是y2=4x的准线，即抛物线的准线过椭圆的另一个焦点F1．设点P到抛物线y2=4x的准线的距离为PN，则|PF2|=|PN|．
又|PN|=x1+1=，
∴|PF2|=，|PF1|=2a-=．
过点P作PP1⊥x轴，垂足为P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos（л-β）=，cosβ=-，∴cosαcosβ=-．
（3）∵x1=，∴|PP1|=，
∴S△PF1F2=|F1F2|•|P1P2|=．