Question

设椭圆C与双曲线D有共同的焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），并且椭圆的长轴长是双曲线实轴的长的2倍，试求椭圆C与双曲线D交点的轨迹方程．

Answer

设双曲线实半轴长a，则椭圆半长轴的长2a，由由双曲线、椭圆的定义求出|PF1|与|PF2|的关系，从而建立轨迹方程，并化简．
【解析】
∵椭圆C与双曲线D有共同的焦点F1（-4，0），F2（4，0），椭圆的长轴长是双曲线实轴的长的2倍，
设双曲线实半轴长a，a＞0，则椭圆半长轴的长2a，椭圆C与双曲线D交点为点P，
则由双曲线、椭圆的定义得；|PF1|-|PF2|=±2a，|PF1|+|PF2|=4a．
∴|PF1|=3a，|PF2|=a，或|PF1|=a，|PF2|=3a，
∴=3，或 =，即：=3 或，
∴所求的轨迹方程是：（x-5）2+y2=9，或（x+5）2+y2=9．