Question

已知点Q是抛物线C₁：y²=2px（P＞0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C₂：y=2x²相切的两条直线分别交抛物线C₁于点A，B．
（Ⅰ）若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长；
（Ⅱ）判断直线AB与抛物线C₂的位置关系，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由Q（1，-6）在抛物线y2=2px上，求出抛物线方程为y2=36x，设出抛物线C2的切线方程，与抛物线C2联立，用判别式等于零求出切线的斜率，把两切线方程分别与抛物线C1联立求出点A，B，下求过两点的直线方程与弦长．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），三个点都在抛物线C1上，代入抛物线方程，利用点差法求出直线QA、直线QB的斜率，用点斜式写出其方程，因其皆为抛物线C2的切线，故联立后用判别式为零得到两个方程，从其形式上看，对其作差可以得到在点坐标之间的关系，求出y=-（y1+y2）达到用已知p，y表示f直线AB的斜率的目的，表示出直线AB的方程，将其与抛物线联立求证出判别式为零，从而得出直线与曲线相切．
【解析】
（Ⅰ）由Q（1，-6）在抛物线y2=2px上可得，p=18，抛物线方程为y2=36x（1分）
设抛物线C2的切线方程为：y+6=k（x-1）
联立，，由△=0，可得k=-4，k=12
由可知
由可知（3分）
易求直线AB方程为12x-2y-9=0（4分）
弦AB长为（5分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），三个点都在抛物线C1上，
故有y2=2px，y12=2px1，y22=2px2，作差整理得，
所以直线QA：，
直线QB：（6分）
因为QA，QB均是抛物线C2的切线，故与抛物线C2方程联立，△=0，
可得：p2+2yy1（y+y1）=0，p2+2yy2（y+y2）=0
两式相减整理得：y（y1-y2）（y+y1+y2）=0，即可知y=-（y1+y2）（8分）

所以直线AB：，
与抛物线y=2x2联立消去y得关于x的一元二次方程：2yx2+2px-y1（y1+y）=0（10分）
易知其判别式△=0，因而直线AB与抛物线y=2x2相切．故直线AB与抛物线C2相切．（12分）