Question

已知函数f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0且a≠1）．求证：
（1）函数f（x）的图象在y轴的一侧；
（2）函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．

Answer

（1）由ax-1＞0得：ax＞1，a＞1时，函数f（x）的图象在y轴的右侧；当0＜a＜1时，x＜0，函数f（x）的图象在y轴的左侧．所以函数f（x）的图象在y轴的一侧．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1＜x2，则直线AB的斜率，，再分a＞1和0＜a＜1两种情况分别进行讨论．
证明：（1）由ax-1＞0得：ax＞1，
∴当a＞1时，x＞0，即函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数f（x）的图象在y轴的右侧；
当0＜a＜1时，x＜0，即函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数f（x）的图象在y轴的左侧．
∴函数f（x）的图象在y轴的一侧；

（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1＜x2，
则直线AB的斜率，
，
当a＞1时，由（1）知0＜x1＜x2，∴，
∴，
∴，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0；
当0＜a＜1时，由（1）知x1＜x2＜0，∴，
∴，
∴，∴y1-y2＜0，又x1-x2＜0，∴k＞0．
∴函数f（x）图象上任意两点连线的斜率都大于0．