Question

设函数f（x）的定义域为D．若存在非零实数l使得对于任意x∈M．有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的m高调函数．求实数m的取值范围．

Answer

根据题意可知在[-1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥-1恒成立，推断出m≥-1-x恒成立，进而根据x的范围可推知-1-x最大为0，判断出m的范围，进而根据f（x+m）≥f（x），求得（x+m）2≥x2，化简求得m≥-2x恒成立，进而根据x的范围确定-2x的范围，进而求得m的范围．
【解析】
在[-1，+∞）上的任意x（设x=x+m）有y≥-1恒成立，则x+m≥-1恒成立，即m≥-1-x恒成立．
对于x∈[-1，+∞），当x=-1时-1-x最大为0，所以有m≥0．
又因为f（x+m）≥f（x），即（x+m）2≥x2在x∈[-1，+∝）上恒成立，化简得m2+2mx≥0，又因为m≥0，所以m+2x≥0即m≥-2x恒成立，当x=-1时-2x最大为2，所以m≥2
综上可知m≥2．