Question

如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．

（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅲ）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．

Answer

（Ⅰ）证明AD垂直平面PBC内的两条相交直线PC、BC，即可证明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出三棱锥的底面ABC的面积，求出高BC，再求三棱锥D-ABC的体积；
（Ⅲ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求，证明PQ平行平面ABD内的直线OD，即可证明PQ∥平面ABD，在直角△PAQ中，求此时PQ的长．
【解析】
（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，（2分）
所以BC⊥AD．（3分）
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，（4分）
所以AD⊥平面PBC，（5分）
（Ⅱ）由三视图可得BC=4，
由（Ⅰ）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D-ABC的体积即为三棱锥B-ADC的体积，（7分）
所以，所求三棱锥的体积．（9分）
（Ⅲ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．（10分）
因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，
因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，
所以PQ∥平面ABD，（12分）
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，
所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，．（14分）