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已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数. (1)若x=1是...

已知定义在R上的函数f(x)=x2(ax-3),其中a为常数.
(1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求a的取值范围;
(3)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,求正数a的取值范围.
(1)由x=1是函数f(x)的一个极值点则知f'(1)=0,代入导函数即可; (2)要求函数f(x)在区间(-1,0)上是增函数,则要求导函数f'(x)在区间(-1,0)大于等于零即可,另外要注意对a的讨论; (3)要求函数g(x)=f(x)+f'(x),x∈[0,2],在x=0处取得最大值,即求函数g(x)的极值并将之与函数端点值 g(0),g(2)进行比较大小,得出在函数g(x)[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2),再根据条件在x=0处取得最大值,得到g(0)≥g(2)即可 【解析】 (1)∵f(x)=ax3-3x2 ∴f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2). ∵x=1是f(x)的一个极值点, ∴f'(1)=0, ∴a=2 (2)①当a=0时,f(x)=-3x2在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0符合题意; ②当a≠0时,f'(x)=3ax,令f'(x)=0得:x1=0,x2= 当a>0时,对任意x∈(-1,0),f'(x)>0, ∴a>0 (符合题意) 当a<0时,当时,f'(x)>0, ∴,∴-2≤a<0(符合题意) 综上所述,a≥-2. (3)a>0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x∈[0,2]. g'(x)=3ax2+2(3a-3)x-6=3[ax2+2(a-1)x-2], 令g'(x)=0,即ax2+2(a-1)x-2=0(*),显然有△=4a2+4>0. 设方程(*)的两个根为x1,x2,由(*)式得,不妨设x1<0<x2. 当0<x2<2时,g(x2)为极小值 所以g(x)在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2) 当x2≥2时,由于g(x)在[0,2]上是单调递减函数 所以最大值为g(0),所以在[0,2]上的最大值只能为g(0)或g(2) 又已知g(x)在x=0处取得最大值 所以g(0)≥g(2) 即0≥20a-24,解得a≤,又因为a>0,所以. 故答案为:(1)a=2;(2)a≥-2;(3)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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