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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E...

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥面ABCD,AD=CD,DB平分∠ADC,E为PC的中点.
(1)证明:PA∥面BDE;
(2)证明:面PAC⊥面PDB.

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(1)欲证PA∥面BDE,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与面BDE内一直线平行即可,连接AC,交BD于O,连接OE,得到OE∥PA,满足定理条件; (2)欲证面PAC⊥面PDB,根据面面垂直的判定定理可知只需证面ABCD内一直线AC垂直面PDB即可,而AC⊥PD,AC⊥DB,PD⊂面PDB,BD⊂面PDB,PD∩DB=D,根据线面垂直的判定定理可知符合定理条件. 证明:(1)连接AC,交BD于O,连接OE ∵DB平分∠ADC,AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA 又∵E为PC的中点∴OE∥PA 又∵OE⊂面BDE,PA⊄面BDE∴PA∥面BDE (2)由(1)知AC⊥DB ∵PD⊥面ABCD,AC⊂面ABCD∴AC⊥PD ∵PD⊂面PDB,BD⊂面PDB,PD∩DB=D∴AC⊥面PDB 又AC⊂面PAC∴面PAC⊥面PDB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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