Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AD=CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点．
（1）证明：PA∥面BDE；
（2）证明：面PAC⊥面PDB．

Answer

（1）欲证PA∥面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与面BDE内一直线平行即可，连接AC，交BD于O，连接OE，得到OE∥PA，满足定理条件；
（2）欲证面PAC⊥面PDB，根据面面垂直的判定定理可知只需证面ABCD内一直线AC垂直面PDB即可，而AC⊥PD，AC⊥DB，PD⊂面PDB，BD⊂面PDB，PD∩DB=D，根据线面垂直的判定定理可知符合定理条件．
证明：（1）连接AC，交BD于O，连接OE
∵DB平分∠ADC，AD=CD∴AC⊥BD且OC=OA
又∵E为PC的中点∴OE∥PA
又∵OE⊂面BDE，PA⊄面BDE∴PA∥面BDE
（2）由（1）知AC⊥DB
∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴AC⊥PD
∵PD⊂面PDB，BD⊂面PDB，PD∩DB=D∴AC⊥面PDB
又AC⊂面PAC∴面PAC⊥面PDB．