Question

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C₁：（x+3）²+y²=4和圆C₂：（x-4）²+（y-4）²=4．
（1）若直线l过点A（4，-1），且被圆C₁截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C₁和圆C₂都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设直线l的方程为y=k（x-4）-1，再利用圆C1的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P的坐标为P（a，b），再利用圆心C1和圆心C2到l的距离相等，求出a，b的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）由于直线x=4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-4）-1，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d=1．
由点到直线l的距离公式得，从而k（24k+7）=0
所以k=0或，所以直线l的方程为y=-1或7x+24y-4=0．
（2）假设存在，设点P的坐标为P（a，b），l的方程为y-b=k（x-a），因为圆C1和圆C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以圆C1和圆C2的半径相等，到l的距离相等，即，整理得：（14a-7）k2-（8a+14b-32）k+8b-16=0，因为k的个数有无数多个，所以解得
综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为．
注：用平面几何知识可能更简单．