Question

已知a₁=9，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=x²+2x的图象上，其中n=1，2，3，…，设b_n=lg（1+a_n）．
（1）证明数列{b_n}是等比数列；
（2）设C_n=nb_n+1，求数列{C_n}的前n项和；
（3）设，求数列{d_n}的前n项和D_n，并证明．

Answer

（1）把点（an，an+1）代入函数f（x）的解析式即可得an，an+1的关系式，两边取对数进而可得bn+1=2bn，原式得证，
（2）根据（1）中数列{bn}的首项和公比，可求得bn，进而可求得Cn，通过错位相减法求得数列{Cn}的前n项和，
（3）先根据an+1=an2+2an可推知，进而求得dn与an+1和an的关系式，由（1）知：lg（1+an）=2n-1可求得an，代入dn与an+1和an的关系式，即可求得dn，由知，进而证明．
【解析】
（1）证明：由题意知：an+1=an2+2an∴an+1+1=（an+1）2
∵a1=9，∴an+1＞0，
∴lg（an+1+1）=lg（an+1）2即bn+1=2bn，
又∵b1=lg（1+a1）=1＞0
∴{bn}是首项为1比为2的等比数列；
（2）由（1）知：bn=b1•2n-1=2n-1∴Cn=n•2n，设{Cn}的前n项和为Sn．
∴Sn=C1+C2+C3+…+Cn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+3•24+…+（n-1）•2n+n•2n+1

∴Sn=n•2n+1-2n+1+2
{Cn}的前n项和为n•2n+1-2n+1+2n•2n+1-2n+1+2．
（3）∵an+1=an2+2an=an（an+2）＞0∴
∴∴
∴
又由（1）知：lg（1+an）=2n-1∴∴
∴又由知．