Question

已知a＞0，且a≠1，．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性与单调性；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的集合M．

Answer

（1）利用对数函数的性质结合换元法令t=logax，从而推出x=at，导出f（t）后，直接把f（t）中的变量t都换成x就得到f（x）．
（2）求出f（-x），然后把f（-x）和f（x）进行比较，若f（-x）=f（x），则f（x）是奇函数；若f（-x）=-f（x），则f（x）是偶函数；若f（-x）≠±f（x），则f（x）是非奇非偶函数．利用单调函数的定义和性质证明单调性．
（3）结合f（x）的奇偶性与单调性进行求解．y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数，故由f（1-m）+f（1-m2）＜0可知f（1-m）＜-f（1-m2），即f（1-m）＜f（m2-1），再y=f（x）在（-1，1）上是增函数求解m的取值范围．
【解析】
（1）令t=logax（t∈R），
则x=at，．
∴（x∈R）．
（2）∵，且x∈R，
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，是减函数，y=-a-x是增函数．
∴y=ax-a-x为增函数，
又因为，
∴，（x∈R）是增函数．
当0＜a＜1时，指数函数y=ax是减函数，
是增函数，y=-a-x是减函数．
∴u（x）=ax-a-x为减函数．
又因为，
∴，（x∈R）是增函数．
综上可知，在a＞1或0＜a＜1时，y=f（x），（x∈R）都是增函数．
（3）由（2）可知y=f（x），（x∈R）既是奇函数又是增函数．
∵f（1-m）+f（1-m2）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m2），
又y=f（x），（x∈R）是奇函数，
∴f（1-m）＜f（m2-1），，
因为函数y=f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜1-m＜m2-1＜1，
解之得：．