Question

已知函数f（x）=（）²（x＞1）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）判定f^-1（x）在其定义域内的单调性；
（3）若不等式（1-）f^-1（x）＞a（a-）对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用反函数求解三步骤：1、【解析】
解出x 2、换：x、y换位 3、标：标出定义域．先由y=（）2，表示出x，最后互换x，y即可；
（2）设0＜x1＜x2＜1，再利用函数单调性的定义研究f-1（x1）与f-1（x2）的大小关系．最后得出其在（0，1）上的单调性即可；
（3）先将原恒成立问题转化为（1+a）+1-a2＞0对x∈[，]恒成立问题，令t=，最终转化为一次函数恒成立的问题解决即可．
【解析】
（1）由y=（）2，得x=．
又y=（1-）2，且x＞1，
∴0＜y＜1．
∴f-1（x）=（0＜x＜1）．
（2）设0＜x1＜x2＜1，则-＜0，1-＞0，1-＞0．
∴f-1（x1）-f-1（x2）=＜0，
即f-1（x1）＜f-1（x2）．
∴f-1（x）在（0，1）上是增函数．
（3）由题设有（1-）＞a（a-）．
∴1+＞a2-a，即（1+a）+1-a2＞0对x∈[，]恒成立．
显然a≠-1．令t=，
∵x∈[，]，∴t∈[，]．
则g（t）=（1+a）t+1-a2＞0对t∈[，]恒成立．
由于g（t）=（1+a）t+1-a2是关于t的一次函数，
∴g（）＞0且g（）＞0，
即
解得-1＜a＜．