Question

已知△ABC的三边长都是有理数．
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．

Answer

（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2-a2是有理数，b2+c2-a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出也为有理数，根据余弦定理可知=cosA，进而可知cosA是有理数．
（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≤k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k-1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k-1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．
【解析】
（1）证明：设三边长分别为a，b，c，，
∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴必为有理数，
∴cosA是有理数．
（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；
当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；
②假设当n≤k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．
当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，，，
解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A
∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，
∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．
即当n=k+1时，结论成立．
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．