Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中点．
（1）求AC₁与平面B₁BCC₁所成角的正切值；
（2）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（3）已知E是A₁B₁的中点，点P为一动点，记PB₁=x．点P从E出发，沿着三棱柱的棱，按照E→A₁→A的路线运动到点A，求这一过程中三棱锥P-BCC₁的体积表达式V（x）．

Answer

（1）由直三棱柱的性质证明∠AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角，在直角三角形中求出此角的正切值．
（2）设B1C的中点为F，由三角形中位线的性质可得，DF∥AC1，从而证明AC1∥平面B1DC．
（3）设PB1=x，△BCC1的面积的值易求，当点P从E点出发到A1点时，找出棱锥的高，计算体积；当点P从A1点运动到A点，找出棱锥的高，计算体积．
【解析】
（1）∵直三棱柱ABC-A1B1C1，∴B1B⊥面ABC，
∴B1B⊥AB．又∵AB⊥BC，∴AB⊥面BCC1B1．（2分）
连接BC1，则∠AC1B为AC1与平面B1BCC1所成角．（3分）
依题设知，BC1=2，在Rt△ABC1中，（5分）
（2）如图，连接DF，在△ABC1中，∵D、F分别为AB、BC1，
的中点，

∴DF∥AC1，又∵DF⊂平面B1DC，AC1⊄平面B1DC，
∴AC1∥平面B1DC．（10分）
（3）PB1=x，
当点P从E点出发到A1点，即x∈[1，2]时，由（1）同理可证PB1⊥面BB1C1C，
∴
当点P从A1点运动到A点，即时，
．
∴三棱锥P-BCC1的体积表达式（14分）