Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．

Answer

（1）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．
（2）先假设存在，然后对函数g（x）进行求导，再对a的值分情况讨论函数g（x）在（0，e]上的单调性和最小值取得，可知当a=e2能够保证当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x-lnx结合（2）中知F（x）的最小值为3，再令并求导，再由导函数在0＜x≤e大于等于0可判断出函数ϕ（x）在（0，e]上单调递增，从而可求得最大值也为3，即有成立，即成立．
【解析】
（1）在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x2+ax-1，有得，
得
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，=
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=35，（舍去），
②当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增
∴，a=e2，满足条件．
③当时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，（舍去），
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e2x-lnx，由（2）知，F（x）min=3．
令，，
当0＜x≤e时，ϕ'（x）≥0，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴
∴，即＞（x+1）lnx．