Question

例1：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1）f（x）=，g（x）=；
（2）f（x）=，g（x）=
（3）f（x）=，g（x）=（）^2n-1（n∈N^*）；
（4）f（x）=，g（x）=；
（5）f（x）=x²-2x-1，g（t）=t²-2t-1．

Answer

对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数．若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然．
【解析】
（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数．
（2）由于函数f（x）=的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数．
（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴f（x）==x，g（x）=（）2n-1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数．
（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤-1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．
（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数．
故（3）（5）都表示同一函数．