Question

已知：椭圆（a＞b＞0）过（0，1）点，离心率；直线l：y=kx+m（m＞0）与圆O：x²+y²=1相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B，（O为坐标原点）．
Ⅰ．求椭圆C的方程及m与k的关系式m=f（k）；
Ⅱ．设=θ，且满足，，求直线l的方程；
Ⅲ．在Ⅱ．的条件下，求三角形AOB的面积．

Answer

Ⅰ．由题意可知b=1，a2=2，由此可以求出椭圆C的方程．再由直线l：y=kx+m（m＞0）与圆x2+y2=1相切，能够导出m与k的关系式m=f（k）．
Ⅱ．由消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，然后由根的判别式和根与系数的关系求直线l的方程．
Ⅲ．|OA|为三角形的底边，|yB|为三角形的高，由此能够推导出三角形AOB的面积．
【解析】
Ⅰ．∵椭圆，过（0，1）点，∴b=1，
∴a2=2，
∴椭圆C方程为：；
∵直线l：y=kx+m（m＞0）与圆x2+y2=1相切，
∴，，即；
Ⅱ．消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=8k2＞0，∴k≠0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，=||•||•cosθ=••=；
又
k2=1，k=±1；∴=，
直线l的方程为：或，
Ⅲ．由Ⅱ．知k=±1；消去y得，
，由弦长公式：，
∴，
∵∴
∴直线AB过点；
∵＜＞=θ，
且∴，kOB=tanθ=±2
∴lOB：y=±2x，与
联立解得：，或，
即，，
由两点得AB的方程为：，
由前面解知：|OA|为三角形的底边，|yB|为三角形的高，，S△AOB=||•|yB|=××=．