Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜），且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（Ⅰ）求ϕ；
（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2008）．

Answer

（Ⅰ）根据最值求出A，其图象相邻两对称轴间的距离为2，求出周期，确定ω，过点（1，2）求ϕ；
（Ⅱ）法一：根据函数的正确化简f（1）+f（2）+…+f（2008）．然后求出它的值即可．
法二：利用三角函数的平方关系，求出一个周期内的f（1）+f（3），f（2）+f（4）的值，然后求出表达式的值．
【解析】
（I）．
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．
∴．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴．
∴．
∵y=f（x）过（1，2）点，∴．
∴，∴，
∴，
又∵，
∴．

（II）解法一：∵，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．
解法二：∵
∴，，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=4．
又（±2，0）的周期为4，2008=4×502，
∴f（1）+f（2）++f（2008）=4×502=2008．