Question

在一个不透明的盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个大小相同的小球，现从这个盒子中，有放回地先后取得两个小球，其标号分别为x、y，记ξ=|x-2|+|x-y|．
（1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率；
（2）求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）由题意得到x、y可能的取值为1、2、3，根据x和y的值得到∴|x-2|和|y-x|的范围，从而得到随机变量ξ的最大值，求出最大值的概率．
（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，ξ=3时，有x=3，y=1或x=1，y=3两种情况，而变量取1时，用其他几个变量的概率求得．
【解析】
（1）∵x、y可能的取值为1、2、3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2
∴ξ≤3，且当x=3，y=1或x=1，y=3时，ξ=3
因此随机变量ξ的最大值为3．
∵有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，
∴
∴随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为．

（2）ξ的所有取值为0，1，2，3．
∵ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况，
ξ=3时，有x=3，y=1或x=1，y=3两种情况，
∴，，，
则随机变量ξ的分布列为：

∴数学期望．