Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x）如果满足以下三个条件：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．则称函数f（x）为理想函数．
（1）判断函数g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否为理想函数，并予以证明；
（2）求定义域为[0，1]的理想函数f（x）的最大值和最小值；
（3）某同学发现：当x=（n∈N）时，有f（）≤+2，由此他提出猜想：对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，请你根据该同学发现的结论（或其它方法）来判断此猜想是否正确，并说明理由．

Answer

（1）欲判断g（x）=2x+1 （0≤x≤1）是不是满足理想函数，即看它是否满足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；下面一一验证即可；
（2）先研究函数f（x）的单调性，从而得出此函数的最值．得到当x=0时，f（x）取得最小值2，当x=1时，f（x）取得最大值3即可；（3）由于对x∈（0，1]，总存在n∈N，＜x≤，再加上由（2）及该同学的结论，得f（x）≤f（）≤+2，又2x+2＞2•+2=+2，最后利用放缩法即得．
【解析】
（1）显然g（x）=2x+1 （0≤x≤1）满足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则g（x1+x2）-[g（x1）+g（x2）]=2x1+x2-2x1-2x2-1=（2x1-1）（2x2-1）-2≥-2
即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）-2成立，故为理想函数．（4分）
（2）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2-x1∈（0，1]
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]≥f（x2-x1）+f（x1）-2
∴f（x2）-f（x1）≥f （x2-x1）-2≥0，∴f（x1）≤f（x2）
则当0≤x≤1时，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x1=x2=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2当x=1时，f（1）=3，
∴当x=0时，f（x）取得最小值2，
当x=1时，f（x）取得最大值3（10分）
（3）对x∈（0，1]，总存在n∈N，＜x≤，
由（2）及该同学的结论，得f（x）≤f（）≤+2，
又2x+2＞2•+2=+2，
∴f（x）＜2x+2
综上所述，对一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2（16分）