Question

如图，在组合体中，ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC₁D₁D且．
（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；
（Ⅱ）若AA₁=a，当a为何值时，PC∥平面AB₁D．

Answer

对于（Ⅰ），要证明PD⊥平面PBC，只需证明PD垂直于平面PBC的两条相交直线即可，由可得PD⊥PC，而ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，容易证明BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，容易得到PD⊥BC，从而得证；
对于（Ⅱ），由于AB1∥DC1，要证PC∥平面AB1D，只需证明PC∥DC1，如右图，只需证明∠PCC1与∠DC1C互补即可，由于∠PCC1=135，所以∠DC1C=45°，即AA1=a=2．
【解析】
（Ⅰ）证明：因为，CD=AB=2，所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）

（Ⅱ）当a=2时，PC∥平面AB1D．（9分）
当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90，所以C1D⊥PD．（12分）
而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．（13分）
而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D．（14分）