Question

一条螺旋线是用以下方法画成：△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁、A₁A₂、A₂A₃分别以A、B、C为圆心，AC、BA₁、CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线，然后又以A为圆心，AA₃为半径画弧…，这样画到第n圈，则所得螺旋线CA₁，A₁A₂，A₂A₃…A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的总长度S_n为（ ）

A．n（3n+1）π
B．
C．2π（3n-1）
D．n（n+1）π

Answer

由题知如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为，根据弧长公式得到这些弧长是为首项，为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．
【解析】
根据弧长公式知CA1，A1A2，A2A3…A3n-2A3n-1，A3n-1A3n的长度分别为：，，…，，
化简得：，2×，3×，…，3n×，此数列是为首项，为公差，项数为3n的等差数列，则根据等差数列的求和公式得Sn=3n×+×=2nπ+nπ（3n-1）=n（3n+1）π．
故选A