Question

如图，椭圆=1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，求证：．

Answer

（Ⅰ）先写出过A、B的直线方程，因为由题意得有惟一解．消去y得：有惟一解，
利用其根的判别式等于0，即可求得a，b的值，从而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以由解得x1=x2=1，接下来利用距离公式求得线段的长，从而证得．
【解析】
（Ⅰ）过A、B的直线方程为
因为由题意得有惟一解．
即有惟一解，
所以△=a2b2（a2+4b2-4）=0（ab≠0），，
故（a2+4b2-4）=0
又因为，即，
所以a2=4b2
从而得，
故所求的椭圆方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
由解得x1=x2=1，，
因此．
从而，
因为，
所以