Question

设f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求证：
（Ⅰ）方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）-2＜＜-1；设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个实根，则.．

Answer

（Ⅰ）针对a进行分类讨论，若a=0，f（0）f（1）≤0显然与条件矛盾，a≠0时，f（x）=3ax2+2bx+c为二次函数，只需考虑判别式即可；
（Ⅱ）利用根与系数的关系将（x1-x2）2转化成关于的二次函数，根据的范围求出值域即可．
证明：（Ⅰ）若a=0，则b=-c，
f（0）f（1）=c（3a+2b+c）=-c2≤0，
与已知矛盾，
所以a≠0．
方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4（b2-3ac），
由条件a+b+c=0，消去b，得△=4（a2+b2-ac）=
故方程f（x）=0有实根．
（Ⅱ）由条件，知，，
所以（x1-x2）2=（x1-x2）2-4x1x2=
因为，
所以
故