Question

已知函数．若实数a、b使得f（x）=0有实根，则a²+b²的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2

Answer

先整理函数方程解析式，设x+=t进而可知t的范围，要使f（x）=0有实根需判别式大于等于0且小根小于-2或大根大于2，进而根据韦达定理确定a和b的范围，求得f（t）=t2+at+b-2=0的，根据t的范围确定：±=2t+a≥ta+b+k2-2=0则a2+b2的最小值即为原点到该直线的距离的平方，进而根据d（t）的范围求得a2+b2的最小值．
【解析】
=（x+）2+a（x+）+b-2
设x+=t，则t≥2或t≤-2
则有f（t）=t2+at+b-2
∵t2+at+b-2=0有实根，
∴△=a2-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
f（t）=t2+at+b-2=0的解为t=-（a±），则|t|≥2．
将此方程作为关于a、b的方程，化简得：±=2t+a≥ta+b+k2-2=0
则a2+b2的最小值即为原点到该直线的距离的平方，
得d（t）=≥d2（t）=t2-5+≥d2（t）min=，当|t|=2时，等号成立．
故选A