Question

如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=2，E、F分别是AB与PD的中点．
（Ⅰ）求证：PC⊥BD；
（Ⅱ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅲ）求二面角P-EC-D的大小．

Answer

（1）由于AC是斜线PC在平面ABCD上的射影，故可利用三垂线定理，转化为证明：AC⊥BD
（2）要证明AF∥平面PEC，关键是要找到平面PEC中与AF平行的直线
（3）要求二面角的大小，要先求出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题．
【解析】
（I）连接AC，则AC⊥BD．
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜线，
PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂线定理得PC⊥BD．

（II）取PC的中点K，连接FK、EK，
则四边形AEKF是平行四边形，
∴AF∥EK，又EK⊂平面PEC，
AF⊄平面PEC，
∴AF∥平面PEC．

（III）延长DA、CE交于M，过A作AH⊥CM于H，
连接PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM．
∴∠PHA为所求二面角P-EC-D的平面角．
∵E为AB的中点，AE∥CD，∴AM=AD=2．
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得EM2=AM2+AE2-2AM•AEcos120°=7，
∴，
∴，
∴．
∴二面角P-EC-D的大小为arctan