Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n=（a_n-1+2a_n-2）（n=3，4，…）．数列{b_n}满足b₁=1，b_n（n=2，3，…）是非零整数，且对任意的正整数m和自然数k，都有-1≤b_m+b_m+1+…+b_m+k≤1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=na_nb_n（n=1，2，…），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer

（1）由得（n≥3），所以，再用累加法求出an，再由n的奇偶性进行讨论知bn．
（2），再由n的奇偶性分别计算数列{cn}的前n项和Sn．
【解析】
（1）由得（n≥3）
又a2-a1=1≠0，
∴数列{an+1-an}是首项为1公比为的等比数列，
an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）++（an-an-1）
=
=，
当n为奇数时当n为偶数时
由
得b2=-1，
由
得b3=1，
同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；
因此．
（2）
Sn=c1+c2+c3+c4++cn
当n为奇数时，=
当n为偶数时
=
令①
①×得：②
①-②得：=
∴
当n为奇数时当n为偶数时
因此