Question

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

Answer

欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．
【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax2+by2=1，
∴=，=1-=．
∴M（，）．
∵kOM=，∴b=a．①
∵OA⊥OB，∴•=-1．
∴x1x2+y1y2=0．
∵x1x2=，y1y2=（1-x1）（1-x2），
∴y1y2=1-（x1+x2）+x1x2
=1-+=．
∴+=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（-1），b=2（-1）．
∴所求方程为2（-1）x2+2（-1）y2=1．