Question

已知点M是离心率是的椭圆C：（a＞b＞0）上一点，过点M作直线MA、MB交椭圆C于A，B两点，且斜率分别为k₁，k₂．
（I）若点A，B关于原点对称，求k₁•k₂的值；
（II）若点M的坐标为（0，1），且k₁+k₂=3，求证：直线AB过定点；并求直线AB的斜率k的取值范围．

Answer

（I）先根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而求得a和b的关系，代入椭圆方程，设出A，B，M的坐标，把A，M代入椭圆方程，两式想减正好求得直线MA，MB的斜率之积结果为-
（II）根据点M的坐标，可求得b，设出直线AB的方程，代入椭圆方程根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据判别式求得t的范围，由k1+k2=3，求得A点横坐标和纵坐标的关系，把A点坐标代入直线求得A点横坐标和纵坐标的关系，然后联立求得t关于k的表达式，代入直线方程，根据直线AB过定点，进而把代入3k2+1＞t2中即可求得k的范围．
【解析】
（I）由得，a2=3b2，椭圆方程为x2+3y2=3b2
设A（x1，y1），B（-x1，-y1），M（x，y）
由A，M是椭圆上的点得，x12+3y12=3b2①x2+3y2=3b2②
①-②得，（定值）
（II）点M的坐标为（0，1），则b2=1，椭圆方程为x+3y2=3
显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+t，代入椭圆方程得，
（3k2+1）x2+6ktx+3（t2-1）=0

△=36k2t2-12（3k2+1）（t2-1）＞0，
化简得，3k2+1＞t2（*）
由k1+k2=3得，③，
又y1=kx1+t，y2=kx2+t④，
由③，④得，（t-1）（x1+x2）+（2k-3）x1x2=0，
化简得，t=1（舍）或t=，
则直线AB的方程为
∴直线AB过定点
将．
∴直线AB的斜率k的取值范围为∪（0，3）∪（3，+∞）．