Question

已知函数f（x）=log₂（2^x+1）
（1）求证：函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增；
（2）记f^-1（x）为函数f（x）的反函数，关于x的方程f^-1（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer

（1）用单调性定义证明，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形，通过分析，与零比较，要注意变形要到位．
（2）先求得反函数f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），构造函数=利用复合函数的单调性求得函数的值域．
【解析】
（1）任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=，
∵x1＜x2，∴0＜2x1+1＜2x2+1，
∴，
∴f（x1）＜f（x2），
即函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增

（2）∵f-1（x）=log2（2x-1）（x＞0），
∴m=f-1（x）-f（x）=log2（2x-1）-log2（2x+1）==
当1≤x≤2时，，
∴
∴m的取值范围是