Question

在直角坐标平面xOy上的一列点A₁（1，a₁），A₂（2，a₂），…，A_n（n，a_n），…，简记为{A_n}、若由构成的数列{b_n}满足b_n+1＞b_n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A_n}为T点列，
（1）判断，是否为T点列，并说明理由；
（2）若{A_n}为T点列，且点A₂在点A₁的右上方、任取其中连续三点A_k、A_k+1、A_k+2，判断△A_kA_k+1A_k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若{A_n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．

Answer

（1）根据所给的n个点的坐标，看出数列{an}的通项，把数列{an}的通项代入新定义的数列{bn}，验证数列{bn}满足bn+1＞bn，
得到{An}是T点列的结论．
（2）用所给的三个点构造三个向量，写出三个向量的坐标，问题转化为向量夹角的大小问题，判断出两个向量的数量积小于零，得到两个向量所成的角是钝角，得到结果．
（3）本题是要求判断两组向量的数量积的大小，根据两个数列各自的项之间的大小关系，得到向量的数量积之间的关系，本题不用做具体的数字运算，只是一个推理过程．
【解析】
（1）由题意可知，
∴，
显然有bn+1＞bn，
∴{An}是T点列
（2）在△AkAk+1Ak+2中，，
∵点A2在点A1的右上方，
∴b1=a2-a1＞0，
∵{An}为T点列，
∴bn≥b1＞0，
∴（ak+2-ak+1）（ak-ak+1）=-bk+1bk＜0，则
∴∠AkAk+1Ak+2为钝角，
∴△AkAk+1Ak+2为钝角三角形、
（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，
∴q-p=n-m＞0
①aq-ap=aq-aq-1+aq-1-aq-2++ap+1-ap=bq-1+bq-2++bp≥（q-p）bp②
同理an-am=bn-1+bn-2++bm≤（n-m）bn-1、③
由于{An}为T点列，于是bp＞bn-1，④
由①、②、③、④可推得aq-ap＞an-am，
∴aq-an＞ap-am，
即