Question

如图，F是椭圆的一个焦点，A、B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线相切．
（I）求椭圆的方程；
（II）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，若在x轴上存在一点N（x，0），使得直线NP与直线NQ关于x轴对称，求x的值．

Answer

（I）设点F的坐标为（-c，0），根据离心率，可知点B的坐标为（0，c），进而可求直线BF的斜率，根据BC⊥BF，进而求得直线BC的斜率．进而求得点C的坐标，可知圆M的圆心和半径，又根据圆M恰好与直线相切．根据圆心到直线的距离为2c，进而可求得c，根据离心率可求得b，根据b2=a2-c2求得a，最后椭圆的标准方程可得．
（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）根据直线NP与直线NQ关于x轴对称，可知kNP=-kNQ，根据点P，Q表示x，根据直线l与椭圆相交，联立方程，根据韦达定理，可分别求得x1+x2和x1x2，进而可求得x
【解析】
（I）由题意可知F（-c，0）
∵，∴b=c，即B（0，，∴
又∵BC⊥BF，∴，
∴C（3c，0），∴圆M的圆心坐标为（c，0），半径为2c由直线x+y+3=0与圆M相切可得=2c，
∴c=1，∴椭圆的方程为．

（II）由题意可设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），设P（x1，y1），Q（x2，y2）
∵直线NP与直线NQ关于x轴对称，
∴kNP=-kNQ，即
∴，∴
∵，∴3x2+4k2（x+1）2=12
∴（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0，
∴，
∴．