Question

已知二次函数是偶函数且图象经过坐标原点，记函数．
（I）求b、c的值；
（II）当时，求函数f（x）的单调区间；
（III）试讨论函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．

Answer

（1）若函数的图象经过原点，则常数项为0，若函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故不难求出b，c的值．
（2）当时，结合（1）的结论不难给出函数导函数的解析式，确定导函数的符号易得函数的单调区间．
（3）如果函数图象上存在垂直于y轴的切线，则切点处的导数为0，结合导数即可求解．
【解析】
（I）∵是偶函数，
∴，
又∵图象过原点，
∴c=-3
（II）当时，

令f′（x）＞0得函数单调递增区间是（3，+∞），
令f′（x）＜0得函数单调递减区间是（0，3），
（III）∵函数f（x）的图象上垂直于y轴的切线，
∴方程f′（x）=0存在正根，

即5ax2-2x-3=0存在正根，△=4（1+15a）
①当时，△＜0，方程5ax2-2x-3=0无实数根，
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
②当时，△=0，方程5ax2-2x-3=0根为x=-3，
此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
③当时，△＞0，方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1，x2，，，方程5ax2-2x-3=0有两个负实数根
此时函数f（x）的图象上没有垂直于y轴的切线
④a＞0时，△＞0，方程5ax2-2x-3=0有两个实数根x1，x2，，方程5ax2-2x-3=0有两一个正实数根和一个负实数根，此时函数f（x）的图象上存在一条垂直于y轴的切线
综上：
当或时，不存在垂直于y轴的切线
当或a＞0时，存在一条垂直于y轴的切线