Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意（k∈N*），a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N*）；
（Ⅱ）若对任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（i）设q₁≠1．证明是等差数列；
（ii）若a₂=2，证明（n≥2）

Answer

（Ⅰ）观察已知条件可得a2k+1-a2k-1=2dk=4k，利用累加法a2k+1=a1+（a3-a1）+（a5-a3）+…+（a2k-1+a2k-3）可求出a2k+1
（Ⅱ）（i）（法一）由已知由a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，及a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，可得2a2k=a2k-1+a2k+1，
分别用等差数列数列和等比数列的通项公式表示qk，构造（d为常数）
（ii）由（i）可求数列，利用等比数列的条件可得=，从递推关系利用叠乘法求a2k，a2k+1再分n为奇偶求和
（法二）（i）利用a2k-1，a2k，a2k+1成等差及成等比的条件可表示dk=a2k+1-a2k=a2k（qk-1），从而建立qk+1qk之间的递推关系，进行构造证明（d为常数），从而得到数列{}是等差数列
（Ⅰ）证明：由题设，可得a2k+1-a2k-1=4k，k∈N+．
所以a2k+1-a1=（a2k+1-a2k-1）+（a2k-1-a2k-3）+…+（a3-a1）=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1）
由a1=0，得a2k+1=2k（k+1），从而a2k=a2k+1-2k=2k2，a2k+2=2（k+1）2
于是，所以．
所以dk=2k时，对任意k∈N+，a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列．
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a2k-1，a2k，a2k+1成等差数列，及a2k，a2k+1，a2k+2成等比数列，
得2
当q1≠1时，可知qk≠1，k∈N+
从而，即
所以是等差数列，公差为1．
（ii）证明：a1=0，a2=2，可得a3=4，
从而，=1．
由（Ⅰ）有，得
所以，从而
因此，==2k2，
a2k+1==2k（k+1），k∈N+
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m（m∈N+）
若m=1，则．
若m≥2，则
+
=
所以，从而
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N+）

=
所以，从而
综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N+，有

证法二：（i）证明：由题设，可得dk=a2k+1-a2k=qka2k-a2k=a2k（qk-1）
dk+1=a2k+2-a2k+1=qk2a2k-qka2k=a2kqk（qk-1）
所以dk+1=qkdk

由q1≠1可知qk≠1，k∈N+．
可得，
所以是等差数列，公差为1．
（ii）证明：因为a1=0，a2=2所以d1=a2-a1=2．
所以a3=a2+d1=4，从而，．
于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列．
由等差数列的通项公式可得=1+（k-1）=k，
故．
从而．
所以
=
由d1=2，可得dk=2k．
于是，由（i）可知a2k+1=2k（k+1），a2k=2k2，k∈N+
以下同证法一．