Question

已知首项为x₁的数列{x_n}满足x_n+1=（a为常数）．
（1）若对于任意的x₁≠-1，有x_n+2=x_n对于任意的n∈N^*都成立，求a的值；
（2）当a=1时，若x₁＞0，数列{x_n}是递增数列还是递减数列？请说明理由；
（3）当a确定后，数列{x_n}由其首项x₁确定，当a=2时，通过对数列{x_n}的探究，写出“{x_n}是有穷数列”的一个真命题（不必证明）．说明：对于第3题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

Answer

（1）求出xn+2，代入xn+1化简后等于xn，得到a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得得到a的值即可；
（2）数列为递减数列，因为当a=1且x1＞1得到xn＞0，而xn+1-xn=-xn=-＜0，所以得证；
（3）由a=2得到数列{xn}满足xn+1=，因为{xn}是有穷数列，可以令x1=-得到即可．
【解析】
（1）∵xn+2====xn
∴a2xn=（a+1）xn2+xn，当n=1时，由x1的任意性得，∴a=-1．
（2）数列{xn}是递减数列．
∵x1＞0.
∴xn＞0，n∈N*又xn+1-xn=-xn=-＜0，n∈N*，
故数列{xn}是递减数列．
（3）满足条件的真命题为：数列{xn}满足xn+1=，若x1=-，则{xn}是有穷数列．