Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′．
（1）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（2）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；
（3）若D′E与平面PQEF所成的角为45°，求D′E与平面PQGH所成角的正弦值．

Answer

（解法一）
（Ⅰ）由题意得 A′D∥PF，PH∥AD'，PQ∥AB，又因AD'⊥A'D，AD'⊥AB，得到PH⊥PF，PH⊥PQ，
可证PH⊥平面PQEF，用面面垂直的判定定理即证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且，PQ=1，代入
面积公式求解．
（III）连接BC′交EQ于点M，得到平面ABC'D'∥平面PQGH，所求的角转化到D'E与平面ABC'D'所成
角，由（Ⅰ）知EM⊥平面ABC'D则'EM与D'E的比值就是所求的正弦值，根据已知条件求出b的
值，在直角三角形中求解．
（解法二）
（Ⅰ）用数量积为零求平面PQEF的法向量和平面PQGH的法向量，求它们的数量积为零证出
面面垂直．
（Ⅱ）用数量积为零证出截面PQEF和截面PQGH都是矩形，用两点间的距离公式求出邻边得长度，再
求面积和．
（III）由（Ⅰ）知平面PQEF和平面PQGH的法向量，用数量积根据已知条件先求出b的值，再求向量所
成角的余弦值．
【解析】
解法一：
（Ⅰ）证明：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD'=PF
∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD'，
∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，
∵在正方体中，AD'⊥A'D，AD'⊥AB，
∴PH⊥PF，PH⊥PQ，
∴PH⊥平面PQEF，PH⊂平面PQGH．
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是，是定值．（8分）

（III）【解析】
连接BC′交EQ于点M．
∵PH∥AD'，PQ∥AB；PH∩PQ=P，，AD'∩AB=A
∴平面ABC'D'∥平面PQGH，
∴D'E与平面PQGH所成角与D'E与平面ABC'D'所成角相等．
由（Ⅰ）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC'D'，
∴EM与D'E的比值就是所求的正弦值．
设AD'交PF于点N，连接EN，由FD=1-b知
．
∵AD'⊥平面PQEF，又已知D'E与平面PQEF成45°角，
∴，即，
解得，可知E为BC中点．
∴EM=，又，
∴D'E与平面PQCH所成角的正弦值为．（12分）

解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF=1-b，
故A（1，0，0），A'（1，0，1），D（0，0，0），D'（0，0，1），P（1，0，b），Q（1，1，b），
E（1-b，1，0），F（1-b，0，0），G（b，1，1），H（b，0，1）．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，
可得，，．
∵，∴是平面PQEF的法向量．
∵，∴是平面PQGH的法向量．
∵，∴，
∴平面PQEF⊥平面PQGH．（4分）

（Ⅱ）证明：∵，
∴，
又∵，∴PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在坐标系中可求得，，
∴，又，
∴截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．（8分）

（Ⅲ）【解析】
由已知得与成45°角，又
可得，
即，解得．
∴，又，
∴D'E与平面PQGH所成角的正弦值为．（12分）