Question

如图，正三棱锥S-ABC中，侧面SAB与底面ABC所成的二面角等于α，动点P在侧面SAB内，PQ⊥底面ABC，垂足为Q，PQ=PS•sinα，则动点P的轨迹为（ ）

A．线段
B．圆
C．一段圆弧
D．一段抛物线

Answer

构造一个直角三角形PRQ，使∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，由已知得
sinα=，得到PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，由抛物线的定义得出结论．
【解析】
如图：过点P作AB得垂线段PR，连接RQ，则RQ是PR在面ABC内的射影，由三垂线定理得逆定理得，OR⊥AB，
∠PRQ为侧面SAB与底面ABC所成的二面角α，直角三角形PRQ中，sinα=，又已知 PQ=PS•sinα，
∴sinα=，∴=，∴PS=PR，即点P到点S的距离等于点P到AB的距离，
根据抛物线的定义，点P在以点S为焦点，以AB为准线的抛物线上．又点P在侧面SAB内，故点P的轨迹为
一段抛物线，故选 D．