Question

曲线y=-x²+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）．
求：（1）割线AB的斜率k_AB及AB所在直线的方程；
（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）直接利用两点的斜率公式即可求得割线AB的斜率，再利用直线方程的点斜式求得AB所在直线的方程即得；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行，再利用由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，求得切点的坐标，结合直线的方程求出斜率等于-2的直线，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）∵点A（4，0）、B（2，4）．
∴kAB==-2，
∴y=-2（x-4）．
∴所求割线AB所在直线方程为2x+y-8=0．
（2）y′=-2x+4，-2x+4=-2，得x=3，y=-32+3×4=3．
∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y-9=0．
故在曲线AB上存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行．