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设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上的两点,已知向量=(,),=(,),...

设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆manfen5.com 满分网上的两点,已知向量manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),若manfen5.com 满分网=0且椭圆的离心率e=manfen5.com 满分网,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(1)依题意可求得b,进而根据离心率求得a,则椭圆方程可得. (2)先看当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=y2,根据=0代入求得x12-=0把点A代入椭圆方程,求得A点横坐标和纵坐标的绝对值,进而求得△AOB的面积的值;当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b与椭圆方程联立消去y,根据伟大定理求得x1+x2和x1x2的表达式代入=0中整理可求得2b2-k2=4代入三角形面积公式中求得求得△AOB的面积的值为定值.最后综合可得答案. 【解析】 (1)依题意知2b=2,∴b=1,e=== ∴a=2,c== ∴椭圆的方程为 (2)①当直线AB斜率不存在时,即x1=x2,y1=y2, ∵=0 ∴x12-=0 ∴y12=4x12 又A(x1,y1)在椭圆上,所以x12+=1 ∴|x1|=,|y1|= s=|x1||y1-y2|=1 所以三角形的面积为定值. ②当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b 消去y得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0 ∴x1+x2=,x1x2=,△=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0 而=0, ∴x1x2+=0 即x1x2+=0代入整理得 2b2-k2=4 S=|AB|=|b|= ===1 综上三角形的面积为定值1.
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考点分析:
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其中,正确命题的序号为    .写出所有正确命的序号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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