Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥BD；
（Ⅱ）求直线A₁C与侧面BB₁C₁C所成的角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B₁-CD-B的正切值．

Answer

（I）连AC，要证A1C⊥BD，只需证明AC⊥BD，说明AC是A1C在平面ABCD上的射影即可；
（II）说明∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，解三角形A1CB1，求直线A1C与侧面BB1C1C所成的角的正切值；
（III）找出∠B1CB为二面角B1-CD-B的平面角，通过角三角形求二面角B1-CD-B的正切值．
【解析】
（I）连AC，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD
又侧棱AA1⊥平面ABCD
∴AC是A1C在平面ABCD上的射影
∴A1C⊥BD（三垂线定理）；（4分）
（II）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，
所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影
∴∠A1CB1就是直线A1C与侧面BB1C1C所成的角，（6分）
在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，

∴；（9分）
（III）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C
∴CD⊥B1C，CD⊥BC
∴∠B1CB为二面角B1-CD-B的平面角，（11分）
∴
二面角B1-CD-B的正切值为．