Question

设f（x）=是定义在R上的函数．
（1）f（x）可能是奇函数吗？
（2）若f（x）是偶函数，试研究其单调性．

Answer

本题主要考查函数的奇偶性和单调性；判断函数的奇偶性主要根据定义，先验证定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系；判断函数的单调性则一般用定义，作差法．
【解析】
（1）假设f（x）是奇函数，由于定义域为R，
∴f（-x）=-f（x），
即+=-，
整理得（ex+e-x）=0，
即a+=0，即a2+1=0，显然无解．
∴f（x）不可能是奇函数．
（2）因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
即+=，
整理得（ex-e-x）=0，
又∵对任意x∈R都成立
∴有a-=0，得a=±1．
当a=1时，f（x）=e-x+ex，以下讨论其单调性，
任取x1，x2∈R且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=+--=（-）（1-）＞0，
其中、＞0，-＜0，
当•=＞0时，即x1+x2＞0时，f（x1）＜f（x2），f（x）为增函数，
此时需要x1+x2＞0，即增区间为[0，+∞），反之（-∞，0]为减区间．
当a=-1时，同理可得f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，+∞]上是减函数．