Question

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

Answer

（1）先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定；
（2）分别求出C1和C2有两条公切线段的中点坐标，发现两者相等，从而证明了相应的两条公切线段互相平分．
【解析】
（Ⅰ）函数y=x2+2x的导数y′=2x+2，
曲线C1在点P（x1，x12+2x1）的切线方程是：
y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），
即y=（2x1+2）x-x12①
函数y=-x2+a的导数y′=-2x，
曲线C2在点Q（x2，-x22+a）的切线方程是
即y-（-x22+a）=-2x2（x-x2）．
y=-2x2x+x22+a．②
如果直线l是过P和Q的公切线，
则①式和②式都是l的方程，
x1+1=-x2，所以-x12=x22+a．
消去x2得方程2x12+2x2+1+a=0．
若判别式△=4-4×2（1+a）=0时，
即a=-时解得x1=-，此时点P与Q重合．
即当a=-时C1和C2有且仅有一条公切线，
由①得公切线方程为y=x-．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知．
当a＜-时C1和C2有两条公切线
设一条公切线上切点为：P（x1，y1），Q（x2，y2）．
其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=-1，
y1+y2=x12+2x1+（-x22+a）=x12+2x1-（x1+1）2+a=-1+a．
线段PQ的中点为．
同理，另一条公切线段P′Q′的中点也是
所以公切线段PQ和P′Q′互相平分．