Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂=2，且点（S_n，S_n+1）在直线y=kx+1上
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）求证：{a_n}是等比数列；
（Ⅲ）记T_n为数列{S_n}的前n项和，求T₁₀的值．

Answer

（1）根据点（Sn，Sn+1）在直线y=kx+1上，所以点的坐标满足直线的方程，有所给的前两项的值算出点的坐标，代入求解．
（2）由数列的前n项和求通项的问题，考虑的思路一般是，仿写相减，变前n项和的关系为an之间的关系，发现数列是等比数列．
（3）由等比数列前n项和公式，写出sn，题目把它当做通项，求它的前十项的和，用等比数列求和公式即可．
【解析】
（1）Sn+1=k•Sn+1，令n=1有，S2=k•S1+1，∴a1+a2=k•a1+1．代入a1=1，a2=2有k=2．
（2）∵Sn+1=2Sn+1，∴Sn=2Sn-1+1（n≥2）．
两式相减有，an+1=2an，即，=2．且=2符合．
∴{an}为公比为2的等比数列．

∴