Question

给出数列{a_n}的条件如下：①设b_n=2a_n，{b_n}是等差数列；②设b_n-1=a_n-1+a_n（n≥2），{b_n}是等差数列；
③前n项的和S_n=n²+1；④设b_n=2a_n-1，数列{b_n}前n项和为n²．其中使数列{a_n}是等差数列的条件的正确序号是     ．

Answer

①中根据，{bn}是等差数列可推断出an-an-1也是常数，进而推断出数列{an}为等差数列；②中根据数列的递推可求得an+1-an-1为常数但不是相邻的两项，故数列{an}不一定是等差数列②不正确；③根据数列的递推式可求得数列{an}的通项公式，推断出不是等差数列；④中根据2an-1=n2-（n-1）2求得数列的通项公式，进而推断出数列为等差数列．最后综合可得答案．
【解析】
对于①{bn}是等差数列，∴bn-bn-1=2an-2an-1=d（常数）
∴an-an-1=，故数列{an}为等差数列，①正确．
∵bn-1=an-1+an，∴bn=an+an+1，两式相减得an+1-an-1=d，数列{an}不一定是等差数列②不正确
③中Sn=n2+1，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1，但a1=12+1=2不符合an=2n-1
∴an=∴数列{an}不是等差数列
④2an-1=n2-（n-1）2=2n-1，n≥2，an=n，当n=1时a1=1符合
∴an=n，∴数列{an}为等差数列
故答案为：①④