Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CBB₁的体积．

Answer

（1）由直三棱柱的定义证明CC1⊥平面ABC，
（2）连接BC1交B1C于点O，连接DO，由三角形中位线的性质得DO∥AC1，从而证明AC1∥平面CDB1，
（3）等体积法，三棱锥D-CBB1的体积和三棱锥B1-CBD体积相等，BB1为三棱锥D-CBB1的高，△CBB1是直角三角形，面积可求，故体积可求．
证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABC，
又CC1⊂平面C1CD，
所以平面C1CD⊥平面ABC．（4分）
（Ⅱ）证明：连接BC1交B1C于点O，连接DO．
则O是BC1的中点，DO是△BAC1的中位线．
所以DO∥AC1．（6分）
因为DO⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，
所以AC1∥平面CDB1．（9分）
（Ⅲ）【解析】
因为CC1⊥平面ABC，
所以BB1⊥平面ABC．
所以BB1为三棱锥D-CBB1的高．（11分）
=．
所以三棱锥D-CBB1的体积为．（14分）