Question

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图2所示．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；
（Ⅱ）求二面角A-CD-M的余弦值．

Answer

（Ⅰ）要证BC⊥平面ACD，只需证明BC垂直平面ACD内的两条相交直线AC、OD即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的数量积，求二面角A-CD-M的余弦值．
【解析】
（Ⅰ）在图1中，可得，从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC=AC，DO⊂面ACD，从而OD⊥平面ABC，（4分）
∴OD⊥BC
又AC⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD（6分）
另【解析】
在图1中，可得，
从而AC2+BC2=AB2，故AC⊥BC
∵面ADC⊥面ABC，面ADE∩面ABC=AC，BC⊂面ABC，从而BC⊥平面ACD
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，
则，，
，
（8分）
设为面CDM的法向量，
则即，解得
令x=-1，可得
又为面ACD的一个法向量
∴
∴二面角A-CD-M的余弦值为．（12分）