Question

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P₂．
（Ⅰ）若m=10，求甲袋中红球的个数；
（Ⅱ）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P₂的值；
（Ⅲ）设P₂=，从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，求摸出的3个球中恰有2个红球的概率．

Answer

（1）根据从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，而甲袋中共有10个球，甲袋中红球的个数等于从甲袋中摸出1个球为红球的概率乘以袋中球的个数．
（2）将甲、乙两袋中的球装在一起，共有3m个球，根据从中摸出1个红球的概率，类似于第一问得到从乙袋中摸出1个球为红球的概率．
（3）从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次，摸出的3个球中恰有2个红球包含甲袋取一个红球、乙袋取一个红球一个白球及甲袋取一个白球、乙袋取2个红球．
【解析】
（Ⅰ）设甲袋中红球的个数为x，则，
∴甲袋中红球的个数是4个．
（2）由已知得：将甲、乙两袋中的球装在一起，共有3m个球，
∴，
∴P2=．
（3）从甲袋摸出1个红球的概率是，
则．
又P2=，
则．
恰有2个红球分为甲袋取一个红球、乙袋取一个红球一个白球及甲袋取一个白球、乙袋取2个红球．
∴概率为．