Question

已知点（n，a_n）（n∈N*）在函数f（x）=-6x-2的图象上，数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求S_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n+8n+3，数列{d_n}满足d₁=c₁，（n∈N*）．求数列{d_n}的通项公式；
（Ⅲ）设g（x）是定义在正整数集上的函数，对于任意的正整数x₁、x₂，恒有g（x₁x₂）=x₁g（x₂）+x₂g（x₁）成立，且g（2）=a（a为常数，且a≠0），记，试判断数列{b_n}是否为等差数列，并说明理由．

Answer

（Ⅰ）由题意可知{an}是以a1=-8为首项公差为-6的等差数列．由此可以求得Sn=-3n2-5n．
（Ⅱ）由cn=an+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），=2dn+1，可知dn+1+1=2（dn+1）（n∈N*）．再由d1=c1=3，可知{dn+1}是首项为d1+1=4，公比为2的等比数列．由此能够求得dn=2n+1-1．
（Ⅲ）解法一：由题意可知．由此可知数列{bn}是等差数列．
解法二：因为g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a，故=an•2n-1，由此可知．因此，数列{bn}是等差数列．
【解析】
（Ⅰ）由已知an=-6n-2，故{an}是以a1=-8为首项公差为-6的等差数列．
所以Sn=-3n2-5n．
（Ⅱ）因为cn=an+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1（n∈N*），=2dn+1，因此dn+1+1=2（dn+1）（n∈N*）．
由于d1=c1=3，
所以{dn+1}是首项为d1+1=4，公比为2的等比数列．
故dn+1=4×2n-1=2n+1，所以dn=2n+1-1．
（Ⅲ）解法一：，
则=+，bn+1=+.．
因为a为常数，则数列{bn}是等差数列．
解法二：因为g（x1x2）=x1g（x2）+x2g（x1）成立，且g（2）=a，
故=2n-1g（2）+2[2n-2g（2）+2g（2n-2）]=2×2n-1g（2）+22g（2n-2）=2×2n-1g（2）+22[2n-3g（2）+2g（2n-3）]=3×2n-1g（2）+23g（2n-3）═（n-1）×2n-1g（2）+2n-1g（2）=n•2n-1g（2）=an•2n-1，
所以=．
则．
由已知a为常数，因此，数列{bn}是等差数列．