Question

一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点．
（1）求证：MN⊥AB₁，MN∥平面BCC₁B₁；
（2）求二面角A-BC₁-C的余弦值．

Answer

（1）要证直线与直线垂直，利用空间直角坐标系，根据坐标求数量积为0即可；证线与平面平行，证明向量共线即可．
（2）二面角的余弦值，利用三垂线定理，作出二面角的平面角，求解即可．
（1）证明：由三视图可知，在这个多面体的直观图中，AA1⊥平面ABC，且AC⊥BC，AC=3，BC=BB1=4
∴CA，CB，CC1两两垂直
以C为原点，CA，CB．CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由已知可得：C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），A1（3，0，4），B1（0，4，4），故M，2，2），N，0，4）
∴，
∴
∴MN⊥AB1，
∵，∴
∴MN∥BC1，
∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1；
∴MN∥平面BCC1B1；
（2）【解析】
过A作AH⊥BC1于H，连接CH，则CH⊥BC1，
∴∠AHC是二面角A-BC1-C的平面角
在直角△BC1C中，CH=BCsin∠CBC1=4sin45°=2
在直角△ACH中，AC=3，CH=2，∴AH=，
∴cos∠AHC==
∴二面角A-BC1-C的余弦值为